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Geometria - ensino médio

Matemática Ensino Médio

Calcular a razão entre o volume de uma esfera e o volume do octaedro regular inscrito nessa esfera.

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Adriano perguntou há 4 anos

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Professor Renato S.
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Respondeu há 4 anos
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Olá. Para calucular essa razão, precisamos saber primeiramente o volume do octaedro que está dentro da esfera.

Note que o octaedro é formado por duas pirâmides de base quadrangular com aresta "A". Além disso, a altura da pirâmide h é igual ao raio da efera R. Por outro lado, a diagonal da base da pirâmide é igual ao diâmetro da esfera 2R. Portanto, usando o teorema de pitágoras teremos:

$A^2+A^2 = (2R)^2$

$2A^2=4R^2$

$A^2=2R^2$

$A=R\sqrt{2}$

Agora podemos calcular o volume de cada uma das figuras:

$V_{esfera}=(4/3)\pi R^{3}$

$V_{octaedro}=(2/3)A^{2} h = (2/3)(R\sqrt{2})^{2}R$$=(2/3).2.R^{3}= (4/3)R^{3}$

Portanto, a razão será:

$V_{esfera}/V_{octaedro}= (4/3)\pi R^{3}/(4/3)R^{3}= \pi$

 

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